Cómo Factorizar Expresiones de Trigonometría con Grados Superiores a 2

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Por Mary Jane Sterling

Aunque el factoraje cuadrático es fácil, las ecuaciones de trigonometría con grados más altos pueden resultar un poco desagradables si no se tiene una situación agradable, como por ejemplo dos términos o una ecuación de tipo cuadrático. Abajo, usted ve dos de estos problemas: 2sin3x = sin x y 2cos4x – 9cos2x + 4 = 0.

La primera ecuación tiene sólo dos términos, así que puedes factorizarla encontrando un factor común mayor. Resuelve 2sin3x = sin x para todos los ángulos posibles en grados.

  1. Mover el término de la derecha a la izquierda restándolo de cada lado.2sin3x – sin x = 0
  2. Factor out sin x.sin x (2sin2x – 1 = 0)
  3. Poner cada factor igual a 0.sin x = 0 o 2sin2x – 1 = 0
  4. Si sin x = 0, entonces x = sin-1(0) = 0°, 180°, . o 0° + 180°n.Si 2sin2x – 1 = 0, 2sin2x = 1, sin2x = 1/2, entonces terminas con una ecuación cuadrática.
  5. Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación cuadrática y resuelve para x.Multiplica ambas partes de la fracción por el denominador para obtener el radical fuera del denominador:

Esta ecuación de trigonometría de cuarto grado tiene un montón de respuestas:

x = 180°n

x = 45° + 360°n

x = 135° + 360°n

x = 225° + 360°n

x = 315° + 360°n

Puedes combinar estas últimas cuatro ecuaciones para x, las que comienzan con múltiplos de 45 grados, para leer x = 45° + 90°n. Esta ecuación genera los mismos ángulos que las últimas cuatro frases combinadas. ¿Cómo sabe que puede simplificar de esta manera? Porque los ángulos de 45, 135, 225 y 315 grados están todos separados por un valor de 90 grados. Comenzando con los 45 y añadiendo 90 una y otra vez, obtienes todos los ángulos listados así como el número infinito de sus múltiplos.

El siguiente ejemplo es también una ecuación de cuarto grado, pero ésta es de tipo cuadrático, lo que significa que factores como un trinomio cuadrático forman parte de dos factores binomiales. Este problema tiene la posibilidad de tener un gran número de soluciones – o ninguna. Resuelva 2cos4x – 9cos2x + 4 = 0 para las soluciones que estén entre 0 y 2π.

  1. Factorizar el trinomio como producto de dos binomios(2cos2x – 1)(cos2x – 4) = 0
  2. Poner cada factor igual a 0.2cos2x – 1 = 0 o cos2x – 4 = 0
  3. Resuelve para la función en cada ecuación obteniendo los términos con coseno en ellos solos en un lado de la ecuación.
  4. Toma la raíz cuadrada de cada lado de cada ecuación.
  5. Si cos x = ±2, entonces tienes un problema – esa ecuación no se calcula! La función coseno da como resultado valores entre -1 y 1. Este factor no da ninguna solución nueva al problema original.

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