Cómo Factorizar una Expresión Polinómica

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En matemáticas, la factorización o factorización es la división de un polinomio en un producto de otros polinomios más pequeños. Si lo desea, puede multiplicar estos factores y obtener el polinomio original (esta es una excelente manera de comprobar sus habilidades de factoraje). Un conjunto de factores, por ejemplo, de 24 es 6 y 4 porque 6 veces 4 = 24. Cuando se tiene un polinomio, una forma de resolverlo es incluirlo en el producto de dos binomios.

Tienes múltiples opciones de factoraje para elegir cuando resuelves ecuaciones polinómicas:

  • Para un polinomio, no importa cuántos términos tenga, siempre revise primero un factor común más grande (GCF). Literalmente, el factor común más grande es la expresión más grande que entrará en todos los términos. Usar el GCF es como hacer la propiedad distributiva hacia atrás.
  • Si la ecuación es un trinomio -tiene tres términos- puedes usar el método FOIL para multiplicar binomios hacia atrás.
  • Si es un binomio, busque la diferencia de cuadrados, la diferencia de cubos o la suma de cubos.

Finalmente, después de que el polinomio está completamente factorizado, se puede usar la propiedad de producto cero para resolver la ecuación.

Si un polinomio no tiene factor, se le llama primo porque sus únicos factores son 1 y a sí mismo. Cuando hayas probado todos los trucos de factoraje en tu bolsa (GCF, FOIL al revés, diferencia de cuadrados, etc.), y la ecuación cuadrática no se factorice, entonces puedes completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación. La elección es suya. Podrías incluso elegir usar siempre completar la fórmula cuadrada o cuadrática (y omitir el factoraje) para resolver una ecuación. El factoraje a veces puede ser más rápido, por lo que se recomienda que lo pruebe primero.

La forma estándar para una expresión cuadrática (simplemente una ecuación cuadrática sin el signo igual) es el término x-cuadrado, seguido por el término x, seguido por la constante – en otras palabras,

Si se te da una expresión cuadrática que no está en forma estándar, reescríbela en forma estándar poniendo los grados en orden descendente. Esto hace que el factoraje sea más fácil (y a veces incluso necesario).

Siempre es el primer paso: Busque un GCF

No importa cuántos términos tenga un polinomio, siempre es importante verificar primero si hay un factor común más grande (GCF). Si hay un GCF, hará que el factoraje del polinomio sea mucho más fácil porque el número de factores de cada término será menor (¡porque usted habrá factorizado uno o más de ellos!). Esto es especialmente importante si el GCF incluye una variable.

Si se olvida de factorizar este GCF, es posible que también se olvide de encontrar una solución, ¡y eso podría confundirlo en más de una forma! Sin esa solución, usted podría perder una raíz, y entonces podría terminar con una gráfica incorrecta para su polinomio.

Para factorizar el polinomio

por ejemplo, siga estos pasos:

  1. Desglosar cada término en factores primarios, lo que amplía la expresión a
  2. Busque los factores que aparecen en cada término para determinar el GCF En este ejemplo, puede ver una 2 y dos x en cada término. Estos se subrayan a continuación:
  3. Factorice el GCF de cada término delante de los paréntesis, y deje los remanentes dentro de los paréntesis.
  4. Multiplique para simplificar cada término.
  5. Distribuya para asegurarse de que el GCF es correcto.

Envuélvelo: El método FOIL para trinomios

Después de haber revisado un polinomio para un GCF (sin importar si tenía uno o no), trate de factorizarlo de nuevo. Usted puede encontrar que es más fácil de factorizar después de que el GCF ha sido factorizado. El polinomio anterior tenía dos factores:

Sin embargo, el segundo factor puede ser capaz de factorizar de nuevo porque es un trinomio, y si lo hace, tendrá dos factores más que son ambos binomios.

La mayoría de los profesores muestran el método de cálculo alícuota, en el que se anotan dos juegos de paréntesis.

– para ver si algo funciona. Tal vez su primera suposición para este ejemplo sería (3x – 2)(x – 1), pero si usted FALló esto, usted obtendría

y tendrías que adivinar de nuevo. Este método de adivinar y comprobar es looooooooong y tedioso, en el mejor de los casos. De hecho, esta cuadrática en particular es primordial, por lo que se puede adivinar y comprobar durante todo el día y nunca sería un factor.

Si estás en pre-cálculo y tu profesor está usando el método de cálculo al contado de adivinanzas y cheques, que simplemente no está funcionando para ti, has llegado a la sección correcta. El siguiente procedimiento, llamado el método de factoraje FOIL (a veces llamado el Método Británico), siempre funciona para factorizar trinomios y es una herramienta muy útil si usted no puede envolver su cerebro en conjeturas y chequeos. Cuando el método FOIL falla, usted sabe con certeza que la cuadrática dada es primordial.

El método de factoraje FOIL requiere que usted siga los pasos requeridos para los binomios FOIL, sólo hacia atrás. Recuerde que cuando usted FALLA, multiplica los términos Primero, Afuera, Adentro y Último juntos. Luego combinas cualquier término similar, que usualmente proviene de la multiplicación de los términos externos e internos.

Por ejemplo, para tener en cuenta

siga estos pasos:

  1. La expresión no tendrá GCF cuando la descompongas y mírala, de acuerdo con los pasos de la última sección. El desglose es el siguiente: No hay factores comunes a cada término, por lo que no hay FCG. Eso significa que usted puede pasar al siguiente paso.
  2. Multiplica el término cuadrático y el término constante, ten cuidado con los signos cuando hagas esto. En este ejemplo, el término cuadrático es
  3. Anote todos los factores del resultado, en pares.-1x y 10x1x y -10x-2x y 5x2x y -5x
  4. De esta lista, busque el par que se suma para producir el coeficiente del término lineal. Para este problema, la respuesta es -2x y 5x porque
  5. Divida el término lineal en dos términos, usando los números del Paso 4 como coeficientes. Por eso pones el -2x delante del +5x.
  6. Agrupe los cuatro términos en dos grupos de dos. Siempre ponga un signo más entre los dos grupos:
  7. Encuentra el GCF para cada conjunto y factorízalo. Mira los dos primeros términos. ¿Qué tienen en común? Una x. Si excluyes la x, tienes x(x – 2). Ahora, mira los segundos dos términos. Comparten un 5. Si factorizas el 5, tienes 5(x – 2). El polinomio se escribe ahora como x(x – 2) + 5(x – 2).
  8. Encuentra el GCF de los dos nuevos términos, ¿ves el (x – 2) en ambos términos? Se subrayan aquí: x(x – 2) + 5(x – 2). Esto es un GCF porque aparece en ambos términos (si se utiliza este método, el último paso siempre debe ser así). Factoriza el GCF desde ambos términos (siempre es la expresión dentro de los paréntesis) hacia el frente; obtienes (x – 2)( ). Cuando lo eliminas, los términos que no son el GCF se dejan dentro de los nuevos paréntesis. En este caso, usted obtiene (x – 2)(x + 5). El (x + 5) es el remanente de la eliminación del FCG.

A veces el signo tiene que cambiar en el Paso 6 para poder factorizar correctamente el GCF. Pero si no empiezas con un signo más entre los dos grupos, es posible que pierdas un signo negativo que necesites tener en cuenta hasta el final. Por ejemplo, en el factoraje

terminas en el Paso 5 con el siguiente polinomio:

Factorizar la x en el primer conjunto y la 4 en el segundo conjunto para obtener x(x – 9) + 4(-x + 9). ¿Notan que el segundo grupo es exactamente lo opuesto al primero? Para que pueda pasar al siguiente paso, los sets deben coincidir exactamente. Para arreglar esto, cambie el +4 del medio a -4 y obtenga x(x – 9) – 4(x – 9). Ahora que coinciden, puede volver a tener en cuenta el factor.

Si sigue todos los pasos de la lista anterior, le resultará muy fácil con los trinomios de factorización. Incluso cuando una expresión tiene un coeficiente de liderato además de 1, el método FOIL sigue funcionando. La llave inglesa viene sólo si no hay factores en el Paso 2 que se suman para darle el coeficiente lineal. En este caso, la respuesta es primordial.

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