Cómo Identificar el Mínimo y Máximo en Parábolas Verticales

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Las parábolas verticales dan una información importante: Cuando la parábola se abre, el vértice es el punto más bajo del gráfico – llamado el mínimo, o min. Cuando la parábola se abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto del gráfico – llamado el máximo, o max.

Sólo las parábolas verticales pueden tener valores mínimos o máximos, porque las parábolas horizontales no tienen límite en cuanto a lo alto o bajo que pueden llegar. Encontrar el máximo de una parábola puede indicar la altura máxima de una pelota lanzada al aire, el área máxima de un rectángulo, el valor mínimo de la ganancia de una compañía, etc.

Por ejemplo, digamos que un problema le pide que encuentre dos números cuya suma es 10 y cuyo producto es un máximo. Puedes identificar dos ecuaciones diferentes ocultas en esta frase:

x + y = 10

xy = MAX

Si eres como la mayoría de la gente, no te gusta mezclar variables cuando no tienes que hacerlo, así que deberías resolver una ecuación para que una variable la sustituya con la otra. Este proceso es más fácil si resuelves la ecuación que no incluye mínimo o máximo. Así que si x + y = 10, puedes decir y = 10 – x. Puedes conectar este valor a la otra ecuación para obtener lo siguiente:

(10 – x)x = MAX

Si distribuyes la x por fuera, obtienes 10x – x2 = MAX. Este resultado es una ecuación cuadrática para la cual necesitas encontrar el vértice completando el cuadrado (que pone la ecuación en la forma que estás acostumbrado a ver y que identifica al vértice). Encontrar el vértice completando el cuadrado te da el valor máximo. Para ello, siga estos pasos:

  1. Reordena los términos en orden descendente, este paso te da -x2 + 10x = MAX.
  2. Ahora tiene -1(x2 – 10x) = MAX.
  3. Este paso expande la ecuación a -1(x2 – 10x + 25) = MAX – 25. Observe que -1 delante de los paréntesis convirtió el 25 en -25, por lo que debe agregar -25 al lado derecho también.
  4. Factoriza la información dentro del paréntesis, lo que te da -1(x – 5)2 = MAX – 25.
  5. Mover la constante al otro lado de la ecuación: -1(x – 5)2 + 25 = MAX.

El vértice de la parábola es (5, 25). Por lo tanto, el número que está buscando (x) es 5, y el producto máximo es 25. Puedes conectar 5 para que x obtenga y en cualquier ecuación: 5 + y = 10, o y = 5.

Graficar una parábola para encontrar un valor máximo de un problema de palabras.

Esta figura muestra el gráfico de la función máxima para ilustrar que el vértice, en este caso, es el punto máximo.

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