Cómo las estadísticas muestran la conexión entre diferenciación e integración

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Por Mark Ryan

¿Todavía tratando de comprender cómo funcionan la diferenciación y la integración? No hay problema: puede utilizar las estadísticas para ayudarle. Estudiando la relación entre dos simples gráficos, comprenderás la relación entre diferenciación e integración (y, lo que es más, ¡no necesitas conocer ninguna estadística para entender esta idea!).

Los gráficos en cuestión son un gráfico de distribución de frecuencia y un gráfico de distribución de frecuencia acumulativa (es posible que haya visto tales gráficos en un periódico o revista). Echa un vistazo a la figura.

Un histograma de distribución de frecuencia (arriba) y un histograma de distribución de frecuencia acumulativa (abajo) para los beneficios anuales de Widgets-R-Us muestran la conexión entre diferenciación e integración.

El gráfico superior de la figura muestra un histograma de distribución de frecuencias de los beneficios anuales de Widgets-R-Us desde el 1 de enero de 2001 hasta el 31 de diciembre de 2013. El rectángulo ’07, por ejemplo, muestra que la ganancia de la compañía para el 2007 fue de $2,000,000 (su mejor año durante el período 2001-2013).

El gráfico inferior de la figura es un histograma de distribución de frecuencia acumulativa para los mismos datos utilizados para el gráfico superior. La diferencia es simplemente que en el gráfico acumulativo, la altura de cada columna muestra los beneficios totales obtenidos desde el 1/1/2001. Mira la columna ’02 en el gráfico inferior y los rectángulos ’01 y ’02 en el gráfico superior, por ejemplo. Puede ver que la columna ’02 muestra el rectángulo ’02 sentado encima del rectángulo ’01 lo que le da a esa columna ’02 una altura igual al total de los beneficios de ’01 y ’02. ¿Entendido? Al ir a la derecha en el gráfico acumulativo, la altura de cada columna sucesiva simplemente crece por la cantidad de ganancias obtenidas en el año correspondiente que se muestra en el gráfico superior.

Bien. Aquí está la conexión de cálculo. Mira el rectángulo superior de la columna ’08 en el gráfico acumulativo (llamémoslo C para abreviar). En ese punto en C, usted corre a lo largo de 1 año y sube hasta $1,250,000, la ganancia de ’08 que ve en la gráfica de distribución de frecuencia (F para abreviar). Pendiente = subida/carrera, así que, como la carrera es igual a 1, la pendiente es igual a 1.250.000/1, o sólo 1.250.000, que es, por supuesto, lo mismo que la subida. Por lo tanto, la pendiente en C (en ’08 o en cualquier otro año) puede ser leída como una altura en F para el año correspondiente. Ya que las alturas (o valores de función) en F son las pendientes de C, F es la derivada de C. En resumen, F, la derivada, le dice acerca de la pendiente de C.

La siguiente idea es que como F es el derivado de C, C, por definición, es el antiderivado de F (por ejemplo, C podría ser igual a 5×3 y F sería igual a 15×2). Ahora, ¿qué te dice C, el antiderivado de F, sobre F? Imagina arrastrar una línea vertical de izquierda a derecha sobre F. A medida que barres los rectángulos de F – año tras año – la ganancia total que estás barriendo se muestra subiendo por la C.

Mira los rectángulos ’01 a ’08 en F. Puedes ver esos mismos rectángulos subiendo por los escalones a lo largo de C (ver los rectángulos marcados A, B, C, etc. en ambos gráficos). Las alturas de los rectángulos de F se suman a las de C a medida que se sube por la forma del peldaño de la escalera. Y has visto cómo los mismos rectángulos de’01 a’08 que se encuentran a lo largo de la parte superior del escalón de la escalera de C también se pueden ver en una pila vertical en el año ’08 en C. El gráfico acumulativo se dibuja de esta manera, por lo que es aún más obvio cómo se suman las alturas de los rectángulos. (Nota: La mayoría de los histogramas acumulativos no se dibujan de esta manera.)

Cada rectángulo en F tiene una base de 1 año, así que, dado que

el área de cada rectángulo es igual a su altura. Así que, a medida que apila rectángulos en C, está sumando las áreas de esos rectángulos desde F. Por ejemplo, la altura de la pila de rectángulos de ’01 a “08 en C ($8.

5 millones) es igual al área total de los rectángulos ’01 a ’08 en F. Y, por lo tanto, las alturas o valores de función de C – que es el antiderivado de F – le dan el área bajo el borde superior de F. Así es como funciona la integración.

Vale, ya casi has terminado. Ahora repasemos cómo estos dos gráficos explican la relación entre diferenciación e integración. Mira los ’06 a ’12 rectángulos en F (con el borde en negrita). Puede ver esos mismos rectángulos en la porción en negrita de la columna ’12 de C. La altura de esa pila en negrita, que muestra las ganancias totales obtenidas durante esos 7 años, $7.75 millones, es igual al área total de los 7 rectángulos en F. Y para obtener la altura de esa pila en C, simplemente reste la altura del borde inferior de la pila de la altura de su borde superior. Eso es todo lo que dice la versión abreviada del teorema fundamental: El área bajo cualquier porción de una función (como F) viene dada por el cambio de altura en el antiderivado de la función (como C).

En pocas palabras (siga mirando los rectángulos con el borde en negrita en ambos gráficos), las pendientes de los rectángulos en C aparecen como alturas en F. Eso es diferenciación. Al invertir la dirección, se ve la integración: el cambio de altura en C muestra el área bajo F. Voilà: diferenciación e integración son dos caras de la misma moneda.

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